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興衰成敗三百年:俄羅斯數學的光榮與夢想

發布時間:2019-06-17 19:04:18
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  彼得大帝的科學院:蒙昧中的火炬

  我曾經寫過德國哥廷根學派的故事《興衰成敗兩百年:黎曼猜想背后的德國哥廷根學派》。這次借著華為的故事,說說數學界另外一個重要流派,俄羅斯數學。

  講俄羅斯的數學有個人不得不提一下,那就是歐拉。歐拉,瑞士數學家、自然科學家。歐拉是 18 世紀數學界最杰出的人物之一,數學史上最多產的數學家,在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。


歐拉的故事可以單獨寫一個系列,非常勵志的人生經歷

  俄羅斯在近代化之前一直是個相對比較落后的民族,俄羅斯躋身列強也是彼得大帝和葉卡捷琳之后的事情。當彼得大帝剛剛即位的時候,俄羅斯是一個非常落后的國家。然而彼得大帝是個改革進取的君主,他自己他在 1697 年,喬裝打扮到德國、荷蘭、英國等國考察,親身體驗了西歐國家先進的科技文化。

  彼得一世回國后,馬上就在俄國推行歐化政策,進行經濟、軍事、文化、政治等一系列破舊立新。尤其在教育方面,為俄羅斯后面三百年的科技強國地位奠定了基礎。比如,在文化教育方面,彼得從頭開始培養俄國自己的專門技術人才,建立了算術學校、造船學校、航海學校、炮兵學校、醫護學校、工程技術學校、礦業學校,還派了一批留學生到西歐去學習。彼得規定貴族子弟必須上學,必須學會算術和一門外語,否則,剝奪貴族的全部特權,甚至規定不畢業者,不準結婚。

  當然技術和基礎科學還是很不一樣的,在彼得大帝生命的晚期,注意到了基礎科學的重要性,于是他在 1724 年建立了國家科學院。這是俄羅斯科學史上影響最深遠的舉動。


俄羅斯科學院 RAS

  在彼得大帝和他的繼任者凱瑟琳女皇主政時期,科學院是一個對外國學者具有吸引力的地方。科學院有充足的資金來源和一個規模龐大的綜合圖書館,并且只招收非常少的學生,以減輕教授們的教學負擔。科學院還非常重視研究,給予教授們充分的時間及自由,讓他們探究科學問題 。

  在這個時候,歐洲大陸上被家族勢力擠兌的很厲害的伯努力兄弟,就流竄到俄羅斯這個學術蠻荒之地去了。一個是尼古拉伯努利 Nicolas Bernoulli  一個是丹尼爾伯努利 ,兩個人都是約翰伯努利之子,雖然約翰堅決反對兩個兒子進入科學領域,但是丹尼爾伯努利在科學的天份和成績上應該是超越其父的。(最近任正非的講話中提到過這段趣聞)


三代進士何足提,滿門學霸天下奇

  后來丹尼爾伯努利把他爹(約翰伯努利)的學生拐到圣彼得堡科學院,這個人就是歐拉。

  1727 年 5 月 17 日歐拉來到了彼得堡.1733 年,年僅 26 歲的歐拉擔任了彼得堡科學院數學教授.1735 年,歐拉解決了一個天文學的難題(計算慧星軌道),這個問題經幾個著名數學家幾個月的努力才得到解決,而歐拉卻用自己發明的方法,三天便完成了.然而過度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,這時他才 28 歲.

  1741 年左右,俄羅斯內部持續動蕩,歐拉應普魯士彼德烈大帝的邀請,到柏林擔任科學院物理數學所所長直到 1766 年。沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡就職,直至去世。在俄羅斯科學院,歐拉作出了大量的成果,是當時歐洲數學的一個重要山頭,他培養激勵了一大批后來者。歐拉也成為俄羅斯最著名的數學家,物理學家之一。(md,寫歐拉就那么多篇幅,后面那么多司機和諾夫咋辦)

  圣彼得堡學派的崛起

  圣彼得堡學派真正成為一個主流學派還需要經歷幾代人,比如巴切夫斯基(1792-1856) 和切比雪夫(1821-1894)。羅巴切夫斯基是非歐幾何的創造者,而且用一輩子去捍衛真理,贏得了“幾何學中的哥白尼”的贊譽。羅巴切夫斯基是在喀山大學成長起來的,所以他受德國數學的影響比較大。而切比雪夫則是圣彼得堡學派的締造者和代表人物。

  切比雪夫的主要研究方向是分析,他在概率論,數論,函數論方面成就斐然。切比雪夫不等式,切比雪夫濾波器,我想學過理工的應該都如雷貫耳。切比雪夫真正為俄羅斯數學做出的貢獻在于他培養出來許多優秀的繼承者,與哥廷根學派的克萊因和希爾伯特的作用類似。


復習一下巴特沃斯濾波器,切比雪夫濾波器

  一個流派,不是一個人的成功,而是一個強大的梯隊。有第一梯隊,第二梯隊,儲備人才,在各個方向上都開始突破。切比雪夫就是那個承前啟后的人物,,不僅僅自己很優秀,而且把善于發現人才,培養人才。

  比如,切比雪夫的學生就有兩位非常非常著名的大數學家馬爾可夫(1856-1922) 和李亞普洛夫(1857-1918),這兩位我想學過隨機過程和微分方程的人都應該聽說過。馬爾科夫是隨機過程論的開創者,他創造的這一領域影響了科學多方面的發展,同時他在統計和數論方面也有建樹。馬爾可夫過程在今天很熱門的領域中依然起著巨大的作用。比如隱馬爾可夫模型(HMM)是深度學習興起前語音識別最有效的方法。(現在不知道了,好久沒有跟進展了)。

  而李亞普洛夫則是微分方程穩定性理論的開創者之一,和龐加萊共享這一榮譽。同時他引入了特征函數這一強有力的工具,簡潔地解決了很多問題。學過自動控制理論的都應該拜過這位神仙。


李亞普洛夫

  莫斯科學派的興起

  而后世與圣彼得堡學派爭霸的莫斯科學派,還在襁褓之中。但是由于學術交流的溢出效應以及數學的傳承。導致莫斯科在 20 世紀初也逐漸涌現出一些新星。其中代表人物是葉戈羅夫 Dmitri Egorov 和魯津。

  葉戈羅夫是個悲劇性的人物,此人是東正教的忠實的信徒,即便是十月革命之后依然堅定地捍衛東正教反對馬克思主義。因為他的學術地位在 1921 年被選為莫斯科數學協會的會長,1923 年成為莫斯科大學的力學與數學系主任。但是由于他強烈反對官方壓迫東正教,1929 年官方開始公開批判這位數學家。1930 年被逮捕,1931 年,因為反饑餓抗議而再次被捕,最后死于朋友家中。

  但是葉戈羅夫為莫斯科學派的蓬勃發展奠定了基礎,他在莫斯科大學期間經常開辦數學討論班鼓勵學術交流,使得莫斯科數學學派開始崛起,并且成為為促使數學從經典數學轉入現代數學的一支重要力量。

  葉戈羅夫討論班最大的成果是收獲了數學大師魯津。此人又是那種承前啟后的人物,本身是實分析的大師,編寫了一些經典教科書,同時有培養了一大波大師。比如大名鼎鼎的柯爾莫哥洛夫。在柯爾莫哥洛夫時代,莫斯科學派迎來它的巔峰時刻。


這位大魔王的事跡數不勝數

  這個家伙,在 1925 年大學畢業的時候,一年時間發表了 8 篇論文!!!而且每一篇論文都有新概念,新思路,新方法!大家學過概率論都應該知道大數定律,強大數定律就是這位老兄的杰作。

  1930 年代,他在概率論、射影幾何、數理統計、實變函數論、拓撲學、逼近論、微分方程、數理邏輯、生物數學、哲學、數學史與數學方法論等方面發表論文 80 余篇。平均每年 8 篇,而且不同領域!

  1940 年代,這個家伙又去搞湍流理論了。1941 年,這家伙一口氣發了三篇文章,一舉奠定了流體力學界一代宗師的地位。江湖人稱 K41 理論。這個理論是空氣動力學(飛行器設計),潛艇設計的基礎。


湍流理論模擬


飛行器設計


如何才能設計最好的流線型,產生最小的阻力與噪音

  據我所知,中國在這塊無論是理論還是產品離國際先進水平還有很大的距離。比如現在業界用的最廣泛的模擬軟件 Ansys Fluent 就是美國的產品。


背后是數學和軟件的差距,而且是巨大的差距

  蘇聯數學的大繁榮

  美蘇進入冷戰后,蘇聯深知科技的競爭首先是基礎科學的競爭。所以蘇聯把教育提到國家安全戰略的高度,投入了大量的人力物力打造了一套非常高效的人才培養體制。而且在文化上,杰出的科學家,比如物理學家和數學家,就是跟歐美的搖滾明星一樣受到全民的崇拜。青少年成長的過程中被灌輸了這樣的文化觀念,許多人都夢想成為科學家的。

  教育上的國家戰略,具體來講,就是以前的蘇聯投入很大比例的政府資金到學校的 STEM 科目(也就是科學,技術,工程和數學)。這套體制在太空競賽期間初期,讓美國大受刺激。美國在 60 年代也學習了一些蘇聯的體制,大力搞 STEM。50 年代,中國向蘇聯老大哥學習了這樣教育制度,許多理工大學、工業大學等單科或者文理綜合的高校誕生了。雖然中國沒有學到老大哥的那套精髓,但是這個體制每年培養出來幾百萬合格工程師,就讓西方很頭大。

  前蘇聯在培養數學人才方面是非常有一套的,后來逐漸形成了圣彼得堡,莫斯科,喀山,明斯克等等地方數學研究中心。簡單來講就是培養興趣,鼓勵交流,層層選拔,證明自己。

  1、培養興趣

  前蘇聯,小學是不搞什么奧數的,更多是培養興趣。柯爾莫哥洛夫的一個理論是:

一些家長和教師企圖從 10~12 歲左右的學生中挖掘有數學才能的孩子,這樣做會害了孩子。但到了 14~16 歲,情況發生變化。這個年齡段的孩子對于數學有無興趣通常明顯地表現出來。其中約有一半的學生斷定數學物理對他們并無多大用處,這些學生應該學習特殊的簡化課程。另一半學生的數學教育就可以更有效地進行。而這些學生在選擇數學作為大學專業時,還應測驗一下自己對于數學的適應性--運算能力、幾何直觀能力、邏輯推理能力。

  培養興趣階段,蘇聯推出了大量培養數學興趣的圖書和活動。比如這本書,也曾經引進過中國《莫斯科智力游戲》,喚起了大量孩子對數學的興趣。


這本書今天在美國依然很流行

  2、鼓勵交流

  俄羅斯真正的精英教育始于初中階段。在學生小學即將畢業時,他們可以從全國公開發行的一本數學物理科普雜志 Quant 中得到一份試題,學生可以把自己做好的試題答案寄到其所在城市的指定部門,再由專家評閱試卷,成績得出之后,城市的指定部門再組織對通過筆試的同學進行面試。參加對學生進行面試的人員包括中學教師、大學教授及科學研究所的研究人員。被選中的同學將進入所謂的“數學專業中學”學習。在三年以后初中升高中時,將有一次晉級考試,弱者將轉入普通高中。

  在這種數學專業學校中,除了接受普通的中學教育之外,還會將一半左右的時間花在數學學習上。而且每周去各個城市的的少年宮去聽一些頂級教授們的講課。這些課外的課程的設計得深入淺出,與前沿數學研究中重大問題的提出、現在發展的階段乃至其解決緊密相聯。為了讓學生理解并掌握好內容,俄羅斯科學院聯合很多大學一起為這一類課程配備了大量的助教,這些助教一般包括大學三年級以上的數學系學生和各級大學教師、科研人員等,并且他們以前也都是畢業于這種數學專業中學的學生,基本上每三位中學生配備一位助教。

  也就是說如果你真的是數學天才,在你觸手可及的地方就有全蘇聯最頂級的人才團隊輔助你,如果你有什么想法,或者想和別人交流,沒有什么可以阻擋你。

  蘇聯基礎科學的傳播是非常重視交流的,除了本地的少年宮交流之外,還有夏令營交流。他們的夏令營不是為了搞奧賽金牌。而是真正的交流,一遍學習,一遍玩。在這些夏令營的地方,天才們會遇到來個其他地方的天才,比如你感興趣函數,你可以找到函數的同好一起交流。幾年下來就會形成一個小圈子。

  3、層層選拔

  這次數學專業中學的學生經過前面的交流,有天分的很快就會在人群中顯露出來。每年只有少數人進入莫斯科大學,圣彼得堡大學的實驗班學習(一個班 30 多人)(清華的姚班是中國的翻版)。這些實驗班的學生,有非常大的選課自由,可以跨系選,可以跨學校選,甚至可以直接跟科學院的研究員進行研究,寫論文。科研與教育相結合是蘇聯能夠大批培養年輕科學家的重要原因。這些實驗班自由歸自由,但是學風非常嚴謹,一門不及格留級,兩門不及格開除(政治和體育除外)。

  在這種嚴酷的淘汰機制下,真正能生存下來的不到 10 名。這些人基本上都已經證明了一些數學定理,并且開始撰寫論文,有的人已經開始將論文發表出來了。而且他們已經在各個名師的討論班里,非常活躍,一個新星冉冉誕生。

  4、證明自己

  這些幸存下來的學生,需要進一步證明自己是一個合格的數學家。就要去定方向,解決問題,發論文。這是非常非常挑戰性的事情。他們需要根據自己和各個討論班老師的交流,自己的興趣,選擇一個方向,然后去做論文。而老師給他們的題目很多都是數學界公認的難題。學生需要通過論文證明自己的實力。

  前蘇聯的這套體制的為俄羅斯批量培養了大量的基礎學科的人才,讓前蘇聯不到美國 60% 的 GDP 和美國抗衡了那么多年。

  蘇聯科學家的論文大多都是以俄文發表的。而美國數學會、倫敦數學會聯合起來,將俄國幾乎所有的知名綜合數學雜志以及眾多的專業數學雜志一字不漏地全部翻譯成英文。大量的蘇聯教科書被翻譯成英文等多種文字在全世界發行并應用,也說明了人們對這一教育、科研體系的認可。直到今天在美國很多出色的數學培訓機構跟前蘇聯那套體系源遠流長。

  俄羅斯數學的低谷

  冷戰以蘇聯解體告終,大量的蘇聯科學家流失到了美國和歐洲。少量的科學家流落到中國。在我比較熟悉的領域中,SVM 支撐矢量機之父,統計學習理論的提出者 Vapnik 就是從前蘇聯流落出來的科學家。他一個人推動了一個領域往前走了很多年。而他的理論據說在 60 年代就已經成熟了,只是躺在了前蘇聯的保險箱里。

  今天的俄羅斯數學已經大不如前,很多時候還是吃老本。彼得大帝創建的俄羅斯科學院因為經費問題前幾年還搞出大裁員。


俄羅斯的下坡路還要走很久

  結語

  俄羅斯三百年從一個蒙昧的國家崛起成為一個超級大國,又從一個超級大國跌落成二流地區強國。俄羅斯的數學也經歷里起起落落。我不可能在一篇文章中把俄羅斯的大神們都介紹一遍,我只能從很大的尺度上介紹一下代表性大牛們的故事。(朗道我還沒有來得及去講,馬爾可夫也就一筆帶過了)

  無論是哥廷根派還是蘇俄派(圣彼得堡/莫斯科)基礎科學從落后到獨步全球都經歷了幾十年甚至上百年的過程,經歷了一代人又一代人的傳承和發展,沒有急功近利,只是一步步先填坑,然后再交流,然后引發新的火花,開創新的領域,推動科技的發展。

  前人的經驗,對于處于追趕過程的國家來講,依然有著十分重要的借鑒意義。

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